Introduzione

p-sylow
Sia \( G \) un gruppo di ordine finito, sia \( n \) la valutazione p-adica di \( |G| \). Allora esiste un sottogruppo di \( G \) che ha ordine \( p^n \).

A priori, dato un gruppo finito \( G \), non è detto che esista un sottogruppo di ordine un determinato divisore dell'ordine di \( G \). Tuttavia, se tale divisore è una potenza di un primo, esiste almeno un sottogruppo di quell'ordine. A dimostrarlo per la prima volta è stato Peter Ludwig Sylow, un matematico norvegese, da cui questi teoremi prendono il nome.

Teoremi

I teoremi in tutto sono 4, e ti danno molte informazioni sui p-sottogruppi di un gruppo finito: Sia \( G \) un gruppo finito di ordine \( |G|=p^n m \), t.c. \( (p,m)=1 \)

  1. Per ogni \( i \leq n \), esiste \( H < G \) tale che \( |H|=p^i \)
  2. Per ogni \( H < G \) di questa forma, esiste \( H' > H \) tale che \( [H':H]=p \), in particolare ogni p-sottogruppo è contenuto in un p-sylow.
  3. Tutti i p-sylow sono coniugati, questo però non vale necessariamente per p-sottogruppi minori.
  4. Sia \( n_p \) il numero di p-sylow, allora \( n_p \equiv 1 \pmod{p} \), \( n_p=[G:N(S)] \Rightarrow n_p | m \).

Lemma 1

Se \( G \) agisce su un insieme \( X \), allora la cardinalità di \( X \) è pari alla somma delle cardinalità delle orbite:

\[ |X|= \sum_{x \in R} |Orb(x)|=\sum_{x \in R} \frac{|G|}{|stab(x)|} \] dove \( R \) è un insieme di rappresentanti. La prima uguaglianza segue banalmente dal fatto che le orbite di \( x \) formano una partizione dell'insieme. Il seguente uguale deriva dalla bigezione tra le orbite di un elemento e le classi laterali del suo stabilizzatore. \begin{align*} \hline \end{align*}

Definizione

Sia X un insieme e G un gruppo che gli agisce tramite \(\phi\). Definiamo \( Fix_G(X)= \left\{x \in X | \forall g \in G, \phi_g(x)=x\right\}\) In poche parole quegli elementi che hanno tutto G come stabilizzatore

Lemma 2

Se \( G \) è un p-gruppo possiamo sfruttare la formula del lemma 1 per notare che:

\[ |X| \equiv |Fix_G(X)| \pmod{p} \] Infatti, nel loro caso lo stabilizzatore dell'azione è tutto il gruppo, mentre negli altri no, quindi per gli altri il loro fattore ha valore nullo modulo \( p \), mentre i punti fissi hanno valore uno.

Dimostrazione

Sylow 1 + 2

Sia \( H < G \) un p-gruppo. Sappiamo che ne esiste almeno uno per Cauchy. Sia \( X=G/H \), \( H \) agisce su \( X \) per moltiplicazione a sinistra. \[ g \in Fix_H(X) \iff \forall h \in H, hgH=gH \iff \forall h \in H, g^{-1}hg \in H \iff g \in N_G(H) \] questo significa che \( Fix_H(X)=N_G(H)/H \).\\ Se \( H=p^{\alpha}, \alpha < n, \Rightarrow p | [G:H] \), ma \( [G:H]=|X| \), quindi dal lemma 2 \( 0\equiv [G:H]\equiv |X| \equiv |Fix_H(X)| \equiv |N_G(H)/H| \pmod{p} \iff p| [N_G(H):H] \). essendo \(H \lhd N_G(H)\), il quoziente è un gruppo, quindi contiene per cauchy un elemento di ordine p. Preso il suo generato, la controimmagine sarà un sottogruppo che contiene $H$, di indice p, proprio come volevamo. Inoltre reiterando il processo otteniamo il p-sylow.

Sylow 3

Siano \( P, P_1 \) due \( p \)-sylow. E sia \( X=G/P \). Allora \( P_1 \) agisce su \( X \) tramite coniugio. Essendo \( P_1 \) un p-gruppo, possiamo usare il lemma 2, che ci dice che: \[ |X| \equiv |Fix_{P_1}(X)| \pmod{p} \] ma \( LHS \) è diverso da 0, dunque anche \( RHS \) lo è, il che ci implica che non è vuoto. Sia allora \( gP \in Fix_{P_1}(X) \). Varrà che \[ \forall h \in P_1, hgP=gP \iff g^{-1}hg \in P \iff P_1=gPg^{-1} \] il che ci implica che sono coniugati.

Sylow 4

Sia \( S \) un p-sylow. Sia \( X \) l'insieme dei p-sylow. \( X \) coincide dunque con l'orbita di \( S \) attraverso l'azione di coniugio dei sottogruppi. Quindi \( n_p=|X|=[G:N_G(S)] \Rightarrow n_p | |G| \). Considerando invece l'azione di coniugio di \( S \) su \( X \), l'unica orbita banale è quella di \( S \). Infatti sia \( H \) p-sylow con orbita banale. Allora \[ Orb(H)=\left\{gHg^{-1}| g \in S\right\}=H \iff S \subset N_G(H) \] ciò implica che \( SH \) è un gruppo, ma il suo ordine è una potenza di \( p \) maggiore o uguale a \( p^n \), \( |SH|=\frac{|S||H|}{|S\cap H|} \), quindi \( H=S \). Dal lemma 1 si ha che \[ n_p=|X|=\sum_{x \in R} |Orb(x)|= 1 + \sum_{x \in R\setminus \left\{S\right\}} \frac{|S|}{|stab(x)|} \equiv 1 \pmod{p} \]